te amo

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Escrito por veronica2007 el 26/05/2007 00:26 | Comentarios (0)

Funci¨®n sobreyectiva

Una funci¨®n es sobreyectiva (o suprayectiva, o epiyectiva, o suryectiva, o exhaustiva) cuando el recorrido cubre todo el conjunto de llegada. Es decir, todo elemento del conjunto de llegada (rango) es imagen de al menos un elemento del conjunto de partida (dominio).

Definici¨®n formal:

Sea la funci¨®n $f\colon A\to B$ Diremos que f es sobreyectiva, $\iff \forall y\in \mathbb{B}\; \; \exists \, x\in \mathbb{A} \ni f(x)=y$

Es decir, la imagen de f es igual al Rango o codominio de la funci¨®n

$Im(f)= \mathbb{B}$

funcion Aplicaci¨®n

Dados dos conjuntos: X, Y; una relaci¨®n f, que determina una correspondencia matem¨¢tica entre todos los elementos de X con los elementos de Y, diremos que esa relaci¨®n: f, define una Aplicaci¨®n matem¨¢tica entre X e Y, que representaremos:

$f: X \rightarrow Y$

Cuando:

todos los elementos de X est¨¢ relacionado con elementos de Y.
cada elemento de X, esta relacionado con un ¨²nico elemento de Y.

Esto es: una correspondencia matem¨¢tica es una aplicaci¨®n, si todos los elementos del conjunto inicial tienen una imagen y esa imagen es ¨²nica.

En el diagrama se pueden ver los conjuntos X e Y:

d	(1,d)	(2,d)	(3,d)	(4,d)
c	(1,c)	(2,c)	(3,c)	(4,c)
b	(1,b)	(2,b)	(3,b)	(4,)
a	(1,a)	(2,a)	(3,a)	(4,a)
X¡ÁY	1	2	3	4

$X = \{1, 2, 3, 4 \} \,$

$Y = \{a, b, c, d \} \,$

Funci¨®ninyectiva

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Una funci¨®n (o m¨¢s general un mapeo) es inyectiva (inyectivo) cuando las im¨¢genes en el conjunto codominio del mapeo se corresponden con elementos diferentes del conjunto de partida. Es decir, no existe una misma imagen que tenga asociados elementos distintos del conjunto de dominio.

Definici¨®n formal:

Sea $f: A\longrightarrow B$ una funci¨®n. Diremos que $f$ es inyectiva, $\iff \forall x_{1},x_{2} \in A \ni x_{1} \neq x_{2} \Longrightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})$ o lo que es lo mismo, $f(x_{1}) = f(x_{2}) \Longrightarrow x_{1}=x_{2}$

Equivalentemente, es inyectivo si la fibra de cada elemento del codominio tiene cardinalidad menor o igual a uno.

Funci¨®n biyectiva

Esquematizaci¨®n de un ejemplo de biyecci¨®n

En matem¨¢tica una funci¨®n es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Es decir, todos los elementos del conjunto de partida tienen una imagen distinta (por ser inyectiva) en el conjunto de llegada. Adem¨¢s, el recorrido es igual al conjunto de llegada (por ser sobreyectiva).

Por ejemplo, la funci¨®n $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por f(x) = 6x + 9 es claramente biyectiva.

Una forma de demostrar biyectividad

Es posible establecer la biyectividad de una funci¨®n probando:

f: A ¡ú B es inyectiva
g: B ¡ú A es inyectiva

La funci¨®n g no es necesariamente la inversa de f

== V¨¦ase tambi¨¦n ==ddDado $x\,$ conocemos $(\, x, f(x) \,)$ , puesto que conocemos la funci¨®n $f\,$ , y dado cualquier elemento $y \,$ de $B \,$ conocemos tambi¨¦n $(\,y, g(y)\, )$ , puesto que conocemos la funci¨®n $g \,$ . Por tanto, $(\, x, g(f(x)) \,)$ est¨¢ definido para todo x. Luego $\;\;g\circ f \;$ cumple la condici¨®n de existencia que se exige a las funciones.

Tambi¨¦n cumple la condici¨®n de unicidad, dado que para cada $x \,$ el valor de $f(x) \,$ es ¨²nico, y para cada $f(x) \,$ tambi¨¦n lo es el de $g(f(x)) \,$ , por ser $f \;$ y $g \;$ funciones.

La composici¨®n de funciones es asociativa:

$h\circ (g \circ f) = (h\circ g) \circ f$

Sin embargo, en general, la composici¨®n de funciones no es conmutativa. Dadas $f \colon A \to B \,$ y $g \colon B \to C \,$ , $f\circ g\,$ puede no tener ni siquiera sentido, porque $g \,$ ¡°devuelve¡± elementos de $C \,$ , en tanto que $f \,$ est¨¢ definida en el dominio $A \,$ . Pero incluso en los casos en que dominios y codominios son compatibles (o son el mismo conjunto), nada garantiza que la composici¨®n de funciones sea conmutativa. Por ejemplo, con funciones num¨¦ricas $f(x)=x+1 \,\;$ y $\,g(x)=x^2 \,\;$ , $\,f(g(x))=x^2+1 \,\;$ , en tanto que

Funci¨®n Inversa

En ocasiones se puede invertir la realci¨®n entre dos conjuntos produciendo una nueva funci¨®n. Siempre que se tiene una funci¨®n uno - uno, se puede definir una nueva funci¨®n: la funci¨®n inversa.

Si f es una funci¨®n uno ¨C uno, entonces la funci¨®n inversa de f se denota por f ^¨C1.

NOTACION

Observa el diagrama que ilustra dos funciones inversas

Dominio de f

Recorrido de f

Recorrido de f ^-1

Dominio de f ^-1

f(A)

f(B)

f(C)

f 1-1

f ^-1

corresponde un solo elemento en el dominio de f. En estos casos, se puede invertir la relaci¨®n para obtener la funci¨®n inversa de f, f ^¨C1

Observa que f ^-1 act¨²a sobre las salidas de la funci¨®n f, que son ahora las entradas de la funci¨®n f ^-1. Adem¨¢s:En esta ilustraci¨®n f es uno¨Cuno. A cada elemento del recorrido de f le

f ^-1( f ( A ) ) = A

f ^-1( f ( B ) ) = B f ^¨C1 o f

f ^-1( f ( C ) ) = C

Si f es una funci¨®n 1-1, entonces la funci¨®n inversa de f se denota por f ^-1 y adem¨¢s :

( f ^¨C1o f ) ( x ) = ( f o f ^-1 ) ( x ) = x

Observa que la composici¨®n de las inversas se comporta como una funci¨®n identidad.

Otra forma de ver la funci¨®n inversa.

Considera nuevamente el diagrama de arriba. Los pares ordenados de f son:

( A, f(A)), (B, f(B)), (C, f(C)) . Los pares ordenados de f ^-1 son:

( f(A), A), (f(B), B), (f(C), C) .

As¨ª que si f es uno-uno, entonces se puede definir la inversa de f como:

f ^¨C1 = { (y, x) / (x, y) est¨¢ en f }

Solo tienes que invertir los pares ordenados de f para obtener los pares ordenados de f ^¨C1.

Proceso para determinar si dos funciones dadas son inversas:

Se dice que f ^-1 deshace lo que hace f.

La funci¨®n f act¨²a sobre un elemento x de su dominio, aplic¨¢ndole una regla, definida por una o mas operaciones matem¨¢ticas.

La funci¨®n f ^-1 actua sobre la salida de x, f (x ), aplic¨¢ndole una regla, definida por una o mas operaciones matem¨¢ticas que regresa esa salida a su estado original x.

Se puede concluir que la regla definida para la funci¨®n inversa utiliza las operaciones inversas de las operaciones definidas para la funci¨®n f. Esto es, si f suma,

f ^-1 resta; si f cuadra, f ^-1 aplica ra¨ªz cuadrada

Escrito por veronica2007 el 30/04/2007 01:56 | Comentarios (3)

funciones logicas

RELACIONES y FUNCIONES

Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada. Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación: propiedad reflexiva, simétrica y transitiva.

Se llama función a una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida le corresponde sólo un elemento del conjunto de llegada.

Función inyectiva

Una función (o más general un mapeo) es inyectiva (inyectivo) cuando las imágenes en el conjunto codominio del mapeo se corresponden con elementos diferentes del conjunto de partida. Es decir, no existe una misma imagen que tenga asociados elementos distintos del conjunto de dominio.

Definición formal:

Sea $f\colon A\to B$ una función. Diremos que f es inyectiva, si y sólo si, para todo x, y є A tales que x ≠ y implica que f(x) ≠ f(y), o lo que es lo mismo, si f(x) = f(y), entonces x = y.

$f: A \rightarrow B\,$ es inyectiva $\harr \forall x,y \in A : f(x) = f(y) \rarr x = y$ ; o lo que es lo mismo: $\harr \forall x,y \in A : x \neq y \rarr f(x) \neq f(y)$

[editar] Definición Matemática de una función

Desde un punto de vista formal, se dice que f es una función o aplicación de A en B y se denota

$f \colon A \to B \,$

y satisface:

$\forall a \in A \quad \rm {\exists b} \in B\mid (a,b) \in f$
Si $(a,b_1) \in f \and (a,b_2) \in f \Rightarrow b_1 = b_2$

Esto significa que a cada elemento a de A, le corresponde por f un elemento b, y sólo uno, de B, al que se denomina imagen de a por f y que se denota $f(a)=b \,$ en vez de $(a,b)\in f$ .

En algunos textos de matemática se reserva la palabra función para el caso en que el conjunto B es un conjunto numérico y se utiliza aplicación para el caso más general de conjuntos cualesquiera. Esta distinción no está generalizada y se trata, en todo caso, de una distinción informal y de uso discrecional.

[editar] Dominio, conjunto de llegada y conjunto imagen

El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Entonces, el dominio de una función f es el conjunto de todos los objetos que puede transformar. Se denota Dom f o Df.

$D_f = \left\{x \in A \mid \exists y \in B \mid (x,y) \in f\right\}$

Obsérvese que la condición de existencia de la definición de función garantiza que, si $f \colon A \to B \,$ es una función, entonces

D f = A

El codominio de una función $f \colon A \to B \,$ es el conjunto $B \,$ .

Obsérvese que algunos elementos del codominio pueden no ser imagen de ningún elemento del dominio. Puede haber algún $y \in B$ tal que $\forall x \in A \;\, (x,y)\notin f$

El conjunto imagen, también llamado recorrido o rango, está formado por los valores que alcanza la función. Entonces, la imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente. Se denota Im f o If.

$Im_f = \left\{y \in B \mid \exists x \in A \mid (x,y) \in f\right\}$

Por ejemplo, la función f(x) = x + 1 tiene como dominio e imagen todos los números reales, pero una función g(x) = x², si bien tendrá como dominio a todos los reales, sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real (de hecho, todos lo son).

Siempre es posible restringir tanto el conjunto dominio e imagen de una función con un propósito determinado. Por ejemplo, si se quiere restringir f(x) = x² para que sea biyectiva, es posible tomar una sola de las ramas de modo que el dominio restringido y el conjunto imagen tomen valores del intervalo [0,+∞).

Cantidad de variables

El dominio y la imagen pueden tener una única variable, o bien varias. De acuerdo a dichas cantidades se le pueden dar diferentes nombres a la función

$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función escalar
$\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es un campo escalar
$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ es una función vectorial
$\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ es un campo vectorial

Se debe notar que la presencia de varias variables no afecta los criterios ya definidos sobre lo que es una función y lo que es sólo una Relación matemática. Dado un $(a, b)$ puede ocurrir que $a = b$ , pero el elemento que pertenece al dominio y que debe tener una y sólo una imagen es $(a, b)$ , no $a$ o $b$ en forma individual.

Conceptos para funciones de valor real

Para funciones $A\to\mathbb{R}$ tenemos:

Conjunto de ceros: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función vale cero.

$C_0 = \left\{x \in D_f\mid f(x) = 0\right\}$

Conjunto de negatividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores negativos.

$C^- = \left\{x \in D_f\mid f(x) < 0\right\}$

Conjunto de positividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores positivos.

$C^+ = \left\{x \in D_f\mid f(x) > 0\right\}$

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Función inyectiva: Si cada elemento del conjunto es imagen de un único elemento del dominio. $f: A \rightarrow B\,$ es inyectiva $\harr \forall x,y \in A : f(x) = f(y) \rarr x = y$ ; o lo que es lo mismo: $\harr \forall x,y \in A : x \neq y \rarr f(x) \neq f(y)$
Función sobreyectiva: $f: A \rightarrow B\,$ es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto B (conjunto de llegada o codominio). $f: A \rightarrow B\,$ es sobreyectiva $\harr \forall y \in B : \exists x \in A : f(x) = y$
Función biyectiva: No se pudo entender (error desconocido): f: A \rightarrow B\ es biyectiva si <math>f \,

es inyectiva y sobreyectiva.

Sobreyectiva, no inyectiva	Inyectiva, no sobreyectiva
Biyectiva	No sobreyectiva, no inyectiva

Álgebra de las funciones

Composición de funciones

Dadas dos funciones $f \colon A \to B \,\;$ y $g \colon B \to C \,\;$ tales que la imagen de $f \,$ está contenida en el dominio de $g\,$ , se define la función composición $\;\;g\circ f \colon A \to C \,$ como el conjunto de pares $(\,x, g(f(x)\,)$ , para todos los elementos $x \,$ de $A \,$ .

$A \to \,\,B\;\; \to \;\;\,C$

$x \mapsto f(x) \mapsto g(f(x))$

Dado $x\,$ conocemos $(\, x, f(x) \,)$ , puesto que conocemos la función $f\,$ , y dado cualquier elemento $y \,$ de $B \,$ conocemos también $(\,y, g(y)\, )$ , puesto que conocemos la función $g \,$ . Por tanto, $(\, x, g(f(x)) \,)$ está definido para todo x. Luego $\;\;g\circ f \;$ cumple la condición de existencia que se exige a las funciones.

También cumple la condición de unicidad, dado que para cada $x \,$ el valor de $f(x) \,$ es único, y para cada $f(x) \,$ también lo es el de $g(f(x)) \,$ , por ser $f \;$ y $g \;$ funciones.

La composición de funciones es asociativa:

$h\circ (g \circ f) = (h\circ g) \circ f$

Sin embargo, en general, la composición de funciones no es conmutativa. Dadas $f \colon A \to B \,$ y $g \colon B \to C \,$ , $f\circ g\,$ puede no tener ni siquiera sentido, porque $g \,$ “devuelve” elementos de $C \,$ , en tanto que $f \,$ está definida en el dominio $A \,$ . Pero incluso en los casos en que dominios y codominios son compatibles (o son el mismo conjunto), nada garantiza que la composición de funciones sea conmutativa. Por ejemplo, con funciones numéricas $f(x)=x+1 \,\;$ y $\,g(x)=x^2 \,\;$ , $\,f(g(x))=x^2+1 \,\;$ , en tanto que $\;g(f(x))=(x+1)^2 \,$

[editar] Función identidad

Dado un conjunto $\, A \,$ , la función $\; e_A \colon A \to A \,$ que asigna a cada $x \,$ de $A \,$ el mismo $x \,$ de $A \,$ se denomina función identidad o función unitaria.

$e_A = \left\{(x, x)\mid x \in A \right\}$

Dada cualquier función $g \colon A \to B \,$ , es claro que $e_B\circ f \colon A \to B \,$ es igual a $f\,$ y que $f\circ e_A \colon A \to B \,$ es también igual a $f\,$ , puesto que para todo $x \;\; f(e_A(x))=f(x)$ y también $\;\; e_B(f(x))=f(x)$

$\; e_B \circ f = f \circ e_A = f \;$

Función inversa

Dada una función $f \colon A \to B \,\;$ , se denomina función inversa o función recíproca de $f \;$ , $f^{-1} \colon B \to A \,$ a la función que cumple la siguiente condición:

$\; f^{-1} \circ f = e_A \;$

$\; f \circ f^{-1} = e_B \;$

Si existe una función que cumpla esas dos condiciones, ser inversa por la izquierda y ser inversa por la derecha, se demuestra que esa función es única. Eso justifica la notación $f^{-1} \;$ , que sería ambigua si pudiera haber dos inversas de la misma función.

Sólo algunas funciones tienen inversa. De hecho, la condición necesaria y suficiente para la existencia de $f^{-1} \;$ es que $f \;$ sea inyectiva. Por tanto, las afirmaciones

Existe función inversa de $f \;$ y
$f \;$ es biyectiva

son lógicamente equivalentes.

El grupo de las funciones biyectivas

Considerando todas las funciones biyectivas $f \colon \, A \to A$ , las conclusiones del apartado anterior pueden resumirse en:

Dadas tres funciones la operación de composición es asociativa: $(f_i \circ f_j) \circ f_k = f_i \circ (f_j \circ f_k) \,$
$\exists e_A \colon \, A \to A \,$ tal que $\forall f\colon A \to A$ tenemos $f\circ e_A = e_A \circ f = f$
$\forall f \colon \, A \to A \, \exists f^{-1} \colon \, A \to A$ tal que $f^{-1} \circ f = f\circ f^{-1} = e_A$

Estas tres condiciones determinan un grupo. El conjunto de las funciones biyectivas $A \to A$ es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones y recibe el nombre de grupo simétrico de $A\,$ .

Funciones reales de variable real

Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de números, y particularmente las funciones $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , o funciones reales de variable real son particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones. A continuación se detallan algunas propiedades y definiciones de interés referidas a las funciones definidas $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ o entre conjuntos de números ( $\mathbb{N,Z,Q,R,C}$ ).

Funciones reales y funciones discretas

Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son las sucesiones.

Funciones acotadas

Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado, por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f(x)=|x| tiene por conjunto imagen $[0,+\infty[\;\!$ , por lo que está acotada inferiormente.

Funciones pares e impares

Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si

$\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(x) = f(-x))$

Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si

$\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(x) = -f(-x))$

Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y)

Funciones monótonas

La función f es estrictamente creciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) < f(x_2)$
f es estrictamente decreciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) > f(x_2)$

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es biyectiva.

f es creciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \le f(x_2)$
f es decreciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \ge f(x_2)$

Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monotona. pèrra

Funciones periódicas

Una función es periódica si se cumple: $f(x) = f(x + T) ; T \neq 0\,$ donde $T\,$ es el período.

Véase también: función periódica

En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple: $f(x) = -f(x + T/2)\,$ . Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos

Funciones cóncavas y convexas

Función convexa.

Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función es ese intervalo están por debajo de la función.

Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima de la función.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente

9.- COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Si una función f(x) consiste en hallar el seno de x y otra función g(x) consiste en extraer la raíz cuadrada de x, la función g[f(x)] consistirá en extraer la raíz cuadrada del seno de x.

f(x)=sen(x)

La función g[f(x)] es la compuesta de

En esta escena están representadas las funciones:

También pueden verse los puntos:

P[a,f(a)] de la función f(x)
Q[a,g(a)] de la función g(x)
R{a,g[f(a)]} de g[f(x)]

Observa para cada valor de x=a, cómo se calcula la ordenada del punto R de la función compuesta de f y g, y escribe en tu cuaderno la respuesta a las siguientes preguntas:

a) ¿para qué valores de x desaparece el punto R y no existe la función compuesta?

b) ¿por qué ocurre esto?

En general, dadas dos funciones f y g

x		f(x)		g[f(x)]
*g º f*

La función g º f es la función compuesta de f y g, que transforma x en g[f(x)]

Escrito por veronica2007 el 21/04/2007 18:20 | Comentarios (3)

MATEMATICA